Matriz Identidade

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Definição

Matriz identidade em álgebra linear é uma matriz quadrada de qualquer dimensão e uma matriz diagonal, que tem como função ser o elemento neutro na multiplicação de matrizes. É denotada por In (sendo n a ordem da matriz), ou simplesmente por I. A matriz identidade é constituída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal apresentam o valor um, sendo os restantes elementos da matriz apresentados pelo número zero.

A Matriz Identidade apresenta-se da seguinte forma:


I_n=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}\,\!


Exemplos de Matrizes Identidade:

Matriz Identidade de ordem 1

I_1=\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}\,\!


Matriz Identidade de ordem 2

I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\,\!


Matriz Identidade de ordem 3

I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\,\!


Matriz Identidade de ordem 4

I_4=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\,\!

Notações normalmente atribuidas à matriz identidade:

Usando a notação que é por vezes é utilizada para descrever de forma concisa a diagonal principal das matrizes, podemos escrever:

Propriedades

1 - A matriz identidade de ordem n é comutável com qualquer matriz quadrada A de ordem n.


A \cdot In = In \cdot A = A

Dito de maneira básica, uma matriz identidade está para o cálculo matricial tal como o número 1 está para o cálculo equacional.

1 \cdot A = A \cdot 1 = A\,\!


2 - O traço de uma matriz quadrada A de ordem n é igual a n.


3 - A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade.

(I)^{-1} = I\,\!


4 - A transposta da matriz identidade é a própria, ou seja,

I = I^{T} \,\!


5 - Como a transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade, logo a matriz identidade é uma matriz simétrica.


6 - Uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.

A \cdot A^{-1} = I\,\!

Ver também

Inversa de uma matriz quadrada

Matrizes Transpostas

Matriz Diagonal

Matriz quadrada

Ligações externas

http://en.wikipedia.org/wiki/Identity_matrix

http://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html

http://economics.about.com/library/glossary/bldef-identity-matrix.htm

http://cnx.org/content/m18293/latest/

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