Matriz Rotação

De WikiEngenharia

Tabela de conteúdo

Matriz Rotação

Uma matriz de rotação é uma transformação linear que quando multiplicada por um qualquer vector provoca uma rotação desse vector segundo um eixo mantendo a sua norma(comprimento).

Propriadades

\mathcal{M}\in\mathbb{R}^{N\times N} é uma matriz rotação se e só se \mathcal{M} for ortonormal\mathcal{M} é ortonormal se o produto escalar entre dois vectores coluna for zero e o produto escalar com ele próprio der um vector unitário. (norma = 1)


A matriz rotação é anti-simétrica,logo a inversa da matriz rotação é igual á sua transposta e estas permitem a rotação de um vector no sentido horário:

\,\mathcal{M}^{-1}=\mathcal{M}^\top


O determinante da matriz rotação é igual a 1:

\,det\mathcal{M}=1

Rotação \mathbb{R}^{2}

A imagem 1 representa a rotação do vector u, segundo o angulo β, dando origem ao vector v.

Imagem 1
Imagem 1

As cordenadas do vector u podem ser dadas por:


u_{1}= l \cos \alpha\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u_{2}= l \sin \alpha


As cordenadas do vector w (o vector que resulta da rotação do vector u) podem ser dadas por:


w_{1}= l\cos  \left ( \alpha +\beta \right )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w_{2}= l\sin \left ( \alpha +\beta  \right )


desenvolvendo \cos  \left ( \alpha +\beta \right )


w_{1}={\color{blue} l}\cos \beta {\color{blue} \cos \alpha }-{\color{green} l}\sin \beta {\color{green} \sin \alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w_{2}= {\color{blue} l}\,\,\sin \beta \,\, {\color{blue} \cos \alpha }+{\color{green} l}\,\,\cos \beta \,\,{\color{green} \sin\alpha}


como {\color{blue} u_{1}=l\cos \alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\, e \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}u_{2}= l\sin  \alpha }


w_{1}= u_{1}\cos \beta -u_{2 }\sin\beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w_{2}= u_{1}\sin \beta +u_{2}\cos \beta



Se considerarmos um vector generico v = \left ( x,y \right ) e o pretendermos rodar no sentido anti-horario, chamando ao resultado da sua rotação o vector v'=\left ( x',y' \right )

Podemos obter a sua rotação atravez das seguintes equações lineares


x'= x\cos \beta -y\sin\beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'= x\sin \beta +y\cos \beta


As equações anteriores são lineares, pelo que podemos defenir uma matriz \mathcal{M} que seja um operador linear


\mathcal{M}= \begin{bmatrix}
\cos \beta  & -\sin \beta \\ 
\sin \beta  & \cos \beta 
\end{bmatrix}

A matriz anterior permite fazer a rotação no sentido anti horário, a sua transposta ou a sua inversa fazem a rotação no sentido horário.


\mathcal{M^{T}}=\begin{bmatrix}
\cos \beta  & \sin \beta \\ 
-\sin \beta  & \cos \beta 
\end{bmatrix}= \mathcal{M}^{-1}



Se pretendermos rodar o vector v o angulo de \frac{{\pi}}{3} (60º) temos:

V' =\begin{bmatrix}
\cos\frac{\pi}{3} & - \sin \frac{{\pi}}{3}\\ 
 
 & \\ 
\sin\frac{{\pi}}{3} &\cos \frac{\pi}{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\ 
\\ 
y
\end{bmatrix}\,\,

\equiv \,\,
V' =\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & - \frac{\sqrt[]{3}}{2}\\ 
 
 & \\ 
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\ 
\\ 
y
\end{bmatrix}
\,\,
\equiv \,\,\,
V' =\begin{bmatrix}

\left ( \frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y\right )\\ 
\\
\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y \right )
\end{bmatrix}

Rotação \mathbb{R}^{3}

Rotação sobre os eixos ortonormados x, y e z

Ao rodarmos um vector sobre um eixo, a sua posição em relação a esse eixo não sofre alteração.

Analogamente ao demonstrado em \mathbb{R}^{2}, uma rotação em \mathbb{R}^{3} é uma operação que faz rodar cada vector em \mathbb{R}^{3} em torno de algum eixo de rotação por um ângulo qualquer. Assim as equações lineares que definem uma rotação no sentido anti-horário de um vector em torno dos eixos coordenados positivos são:


Rotação segundo xx:

Rotação em torno do eixo xx
Rotação em torno do eixo xx

w1 = x

w2 = ycosβ − zsinβ

w3 = ysinβ + zcosβ


\mathcal{M}_{x}\left ( \beta \right )=\begin{bmatrix}
 1 &0 &0 \\ 
 0  & \cos \beta & -\sin \beta  \\ 
 0 & \sin\beta & \cos\beta
\end{bmatrix}



Rotação segundo yy:

Rotação em torno do eixo yy
Rotação em torno do eixo yy

w1 = xcosβ + zsinβ

w2 = y

w3 = − xsinβ + zcosβ


\mathcal{M}_{y}\left ( \beta \right )=\begin{bmatrix}
 \cos\beta &0 &\sin\beta \\ 
 0  & 1 & 0 \\ 
 -\sin\beta & 0 & \cos\beta
\end{bmatrix}



Rotação segundo zz:

Rotação em torno do eixo zz
Rotação em torno do eixo zz

w1 = xcosβ − ysinβ

w2 = xsinβ + ycosβ

w3 = z


\mathcal{M}_{z}\left ( \beta \right )=\begin{bmatrix}
\cos\beta & -\sin\beta & 0 \\ 
\sin\beta & \cos\beta  & 0 \\ 
0 & 0  & 1
\end{bmatrix}




Assim, a matriz canônica para a rotação anti-horária por um ângulo β em torno de um qualquer eixo em \mathbb{R}^{3}, determinado por um vector arbitrário mas unitário u=(a,b,c) com ponto inicial na origem é dado por:


\begin{bmatrix}
a^{2}\left ( 1- \cos\beta  \right ) + \cos\beta & ab\left ( 1 - \cos\beta  \right ) - c \sin\beta  & ac \left ( 1 - \cos\beta \right ) + b \sin\beta \\ 
\\
ab\left ( 1 - \cos\beta \right ) + c \sin\beta & b^{2}\left ( 1 - \cos\beta \right ) + \cos\beta & bc\left ( 1 - \cos\beta \right ) - a \sin\beta \\ 
\\
ac\left ( 1 - \cos\beta \right ) - b \sin\beta& bc\left ( 1 -\cos\beta \right ) + a \sin\beta & c^{2} \left ( 1 - \cos\beta \right ) + \cos\beta \\
\end{bmatrix}



 M(\alpha,\beta,\gamma) = \begin{bmatrix}

   \cos \beta  \cos \gamma 
 & \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma
 & - \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma
\\
   - \cos \beta \sin \gamma 
 & - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma
 & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + \sin \alpha \cos \gamma
\\
   \sin \beta
 & -\sin \alpha \cos \beta
 & \cos \alpha \cos \beta

\end{bmatrix}
Ferramentas pessoais