Matriz de pascal

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Blaise Pascal


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Nascimento 19 de Junho de 1623 Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme

Morte 19 de Agosto de 1662, Paris

Nacionalidade Francês


Foi um físico, matemático, filosofo, moralista e teólogo francês.No campo da matemática foi preponderante na criação de dois novos ramos:a Geometria Projectiva e a Teoria das Probabilidades.Criou um tipo de maquina de somar a que chamou “la pascaline”(1642),sendo a primeira calculadora mecânica que se conhece .Em Física , estudou a mecânica dos fluidos, e estabeleceu os conceitos de pressão e vácuo ampliando o trabalho de Evangelista Torricelli.Realizou experiências sobre sons e chegou à dedução de 32 proposições de geometria estabelecidas por Euclides. Publicou Essay pour les coniques (1642), contendo o célebre teorema de pascal.


Na matemática, em particularmente na teoria das matrizes e combinatória , a matriz de pascal é uma matriz infinita contendo coeficientes binomiais como elementos . Esta matriz pode ter 3 formas, triangular superior, triangular inferior e simétrica. Um exemplo para cada uma das formas com o tamanho 6×6


Triangular superior:U6= \begin{pmatrix}
 1&1  &1  &1  & 1 &1 \\ 
 0&1  &2  &3  &4  &5 \\ 
 0&0  &1  &3  &6  &10 \\ 
 0&0  &0  &1  &4  &10 \\ 
 0&0  &0  &0  &1  &5 \\ 
 0&0  &0  &0  &0  &1 
\end{pmatrix} Triangular inferior:L6= \begin{pmatrix}
1 &0  &0  &0  &0  &0 \\ 
1 &1  &0  &0  &0  &0 \\ 
1 &2  &1  &0  &0  &0 \\ 
1 &3  &3  &1  &0  &0 \\ 
1 &4  &6  &4  &1  &0 \\ 
1 &5  &10  &10  &5  &1 
\end{pmatrix} Simétrica:S6= \begin{pmatrix}
1 &1  &1  &1  &1  &1 \\ 
1 &2  &3  &4  &5  &6 \\ 
1 &3  &6  &10  &15  &21 \\ 
1 &4  &10  &20  &35  &56 \\ 
1 &5  &15  &35  &70  &126 \\ 
1 &6  &21  &56  &126  &252 
\end{pmatrix}


Estas matrizes têm a razão Sn=LnUn. Assim sendo conclui-se que as 3 matrizes têm determinante = 1.O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal, que são todos 1 para Ln e Un. Como a matriz Sn resulta de somar um múltiplo de uma linha de In a uma outra linha o seu det(Sn)=1 em que In representa a matriz identidade de ordem n .


Os elementos da matriz de pascal simétrica podem-se construir da seguinte forma:

S{ij}=_{}^{i+j-2}\textrm{C}_{i-1}=\frac{\left ( i+j-2 \right )!}{\left ( i-1 \right )!\left ( j-1 \right )!}

O traço de uma matriz é a soma de todos os elementos da sua diagonal principal, sendo assim é dado por:


tr(Sn)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\left [2\left ( i-1 \right )  \right ]!}{\left [ \left ( i-1 \right ) \right ]^{2}}

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