Matriz triangular superior/ Matriz triangular inferior

De WikiEngenharia

Tabela de conteúdo

Introdução

As matrizes triangulares são casos particulares de matrizes quadradas, o que significa que possuem igual número de linhas e colunas. A sua particularidade deve-se ao facto de os elementos acima (ou abaixo) da diagonal principal serem todos nulos, ou seja, iguais a zero. Em função da posição desses elementos, relativamente à diagonal principal, este tipo de matrizes pode ser classificado de duas maneiras: matriz triangular superior ou matriz triangular inferior.

Observação: as matrizes diagonais são matrizes triangulares e, simultaneamente, são superiores e inferiores, uma vez que, tanto acima, como abaixo da diagonal principal, todos os elementos são nulos.



\begin{bmatrix}
a_{11} &  {\color{green} 0}& \cdots  &{\color{green} 0} \\ 
 {\color{green} 0}& a_{22} & \cdots  & {\color{green} 0}\\ 
 \vdots &\vdots   & \ddots  & \vdots \\ 
 {\color{green} 0}& {\color{green} 0} & \cdots  &a_{nn} 
\end{bmatrix}

Figura 1 - Representação geral de uma matriz diagonal


Matriz triangular superior

Esta designação é dada às matrizes triangulares que, abaixo da diagonal principal, apenas têm elementos nulos. Os restantes elementos estão posicionados acima dessa mesma diagonal, com a condição de não serem todos nulos.



\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ {\color{green} 0}& a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\color{green} 0}& {\color{green} 0} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}

Figura 2 - Representação geral de uma matriz triangular superior


Observação: as matrizes quadradas na sua forma escalonada por linhas são consideradas matrizes triangulares superiores.


\begin{bmatrix}1 & 7\\ 0& -5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 12 & -7 &5 \\ 0 & -1 & -4 & 3\\ 0 & 0 & 8 &9 \\ 0 &0  & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & -7 & 5 & 2 &2 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 12\\ 0 &  0& 4 & 6 & 5\\ 0 &  0&  0&-3  & 1\\ 0 &0&0&0& -8\end{bmatrix}

Figura 2.1 - Exemplos de matrizes quadradas na sua forma escalonada por linhas

Matriz triangular inferior

Nas matrizes triangulares inferiores, contrariamente às matrizes triangulares superiores, acima da diagonal principal, todos os elementos são iguais a zero. Os restantes elementos estão posicionados abaixo dessa diagonal, podendo somente alguns deles serem nulos.


\begin{bmatrix}
a_{11} & {\color{green} 0} & \cdots  & {\color{green} 0} \\ 
a_{21}& a_{22} & \cdots  & {\color{green} 0}\\ 
 \vdots & \vdots  & \ddots  &\vdots  \\ 
a_{n1} & a_{n2} & \cdots  &a_{nn} 
\end{bmatrix}

Figura 3 - Representação geral de uma matriz triangular inferior


Propriedades

As matrizes triangulares, devido à sua particularidade, têm algumas propriedades consideradas relevantes para o seu estudo e aplicação.


Determinante:

O cálculo do determinante de uma matriz triangular, quer superior, quer inferior consiste no produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo demonstrativo: Considerando "A" uma matriz triangular na forma 3x3.


A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 5\\ 0& 3 & 4\\ 0& 0 & -2\end{bmatrix}


O seu determinante é dado por:


det(A)= \begin{vmatrix}{\color{green} 2} & -1 & 5\\ 0& {\color{green} 3} & 4\\ 0& 0 & {\color{green} -2}\end{vmatrix}= 2 \times  3 \times  (-2) = -12


Produto:

A multiplicação de matrizes triangulares do mesmo tipo origina uma nova matriz desse tipo, ou seja, o produto de matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior, seguindo-se a mesma lógica nas matrizes triangulares inferiores.

Exemplo demonstrativo: Considerando "B" e "C" duas matrizes triangulares do mesmo tipo.


B=\begin{bmatrix}-3 & 1 & -3\\ 0& 4 & -2\\ 0& 0 &6 
\end{bmatrix}; C=\begin{bmatrix}2 & 4 & -5\\ 0 & -1 &7 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}

O produto destas matrizes é dado por:

B\times C=\begin{bmatrix}-6 &8  &19 \\ 0 & 4 & 22\\ 0 & 0 & 18\end{bmatrix}

Verifica-se que a matriz obtida é do mesmo tipo de B e C.


Transposta:

A transposta de um tipo de matriz triangular resulta no tipo de matriz triangular oposto. Deste modo a transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior e vice-versa.

Exemplo demonstrativo: Seja "A" uma matriz triangular inferior de ordem 4.

A=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\ 3 & -2 & 0 &0 \\  -1& 4 & 5 & 0\\  6& -1 & 1 & -4\end{bmatrix}


A transposta de A é:

A^{c}=\begin{bmatrix}2 &3  &-1  & 6\\ 0 & -2 &4  &-1 \\ 0& 0 &5  &1 \\ 0&0  &0  &-4 \end{bmatrix}


Invertibilidade:

De acordo com a definição de matriz inversa, uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Uma vez que o determinante de uma matriz triangular é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal, se um desses elementos for nulo, a matriz não é invertível, pois a multiplicação por esse elemento resultaria num produto também nulo, logo, num determinante igual a zero.

Exemplo demonstrativo: Seja "A" uma matriz triangular de ordem 3.

A=\begin{bmatrix}2 &0  &0 \\ 8 &  -1& 0\\  -5& 3 & {\color{red} 0}\end{bmatrix}

O determinante de A é dado por:

det (A)=2\times (-1)\times {\color{red} 0}


Nota: A inversa de uma matriz triangular superior é do mesmo tipo que esta, isto é, também é triangular superior. A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz inferior de igual modo.

Referências bibliográficas

Anton, H. & Rorres, C., Álgebra Linear com Aplicações, 8ed, Bookman, Porto Alegre: 2001

Ferramentas pessoais