Traço de Uma Matriz Quadrada

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Definição: Traço de Uma Matriz Quadrada

Matriz quadrada de  linhas e  colunas.
Matriz quadrada de \begin{matrix} n \end{matrix} linhas e \begin{matrix} n \end{matrix} colunas.
Diagonal principal de uma matriz quadrada.
Diagonal principal de uma matriz quadrada.


Definição 1

Seja \begin{matrix} A \end{matrix} uma matriz quadrada de ordem \begin{matrix} n \end{matrix}, tal que: A_{n\times n}=\left ( a_{ij} \right )_{n\times n}\in M_{n\times n}\left ( K \right ) ou, simplesmente, A_{n}=\left ( a_{ij} \right )_{n}.


Chama-se traço de uma matriz quadrada \begin{matrix} A \end{matrix} de ordem \begin{matrix} n \end{matrix}, à soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz.


O traço de uma matriz quadrada denota-se por tr\left ( A \right ).


Assim temos,


A_{n}=\begin{bmatrix}
{\color{blue} a_{11}} & a_{12} & \cdots  & a_{1n}\\ 
a_{21} & {\color{blue} a_{22}} & \cdots  & a_{2n}\\ 
\vdots  & \vdots  & {\color{blue} \ddots}  & \vdots \\ 
a_{n1} & a_{n2} & \cdots  & {\color{blue} a_{nn}}
\end{bmatrix}_{n}


Então o traço da matriz \begin{matrix} A \end{matrix} é dado por:


tr\left ( A \right )=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}={\color{blue} a_{11}}+{\color{blue} a_{22}}+{\color{blue} ...}+{\color{blue} a_{nn}}


NOTA: {\color{red} \begin{bmatrix} K \end{bmatrix}} denota um corpo comutativo, como por exemplo:

- Números Reais, representado por {\color{red} \begin{matrix} \Re \end{matrix}};
- Números Complexos, representado por {\color{red} \begin{matrix} \mathfrak{C} \end{matrix}}.


Definição 2

Sejam \begin{matrix} \lambda _{1} \end{matrix}, \begin{matrix} \lambda _{2} \end{matrix}, ..., \begin{matrix} \lambda _{n} \end{matrix} valores próprios de A=\left ( a_{ij} \right )\in M_{n\times n}\left ( K \right ). O traço de \begin{matrix} A \end{matrix} é igual à soma dos valores próprios de \begin{matrix} A \end{matrix}, ou seja,


tr\left ( A \right )= {\color{blue} a_{11}} + {\color{blue} a_{22}} + {\color{blue} \cdots}  + {\color{blue} a_{nn}}=\lambda _{1} + \lambda _{2} + \cdots +\lambda _{n}= \sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}.

Propriedades do Traço de Uma Matriz Quadrada

As principais propriedades do operador traço de uma matriz quadrada são:


Propriedade 1

Para quaisquer matrizes quadradas de ordem \begin{matrix} n \end{matrix}, \begin{matrix} A \end{matrix} e B\in M_{n\times n}\left ( K \right ), diz-se que o traço da soma de duas matrizes é igual á soma dos traços das respectivas matrizes, ou seja:


tr\left (A+B \right )=tr\left (A  \right )+tr\left (B  \right )


tr\left (A-B  \right )=tr\left (A  \right )-tr\left (B  \right )


Propriedade 2

Para qualquer escalar k\in K e para uma qualquer matriz quadrada de ordem \begin{matrix} n \end{matrix}, digamos A\in M_{n\times n}\left ( K \right ), tem-se:


tr\left (k\times B \right )=k\times tr\left (A  \right )


Sendo \begin{matrix} \times \end{matrix} o sinal da operação da multiplicação.


Propriedade 3

Para uma qualquer matriz quadrada de ordem \begin{matrix} n \end{matrix}, A\in M_{n\times n}\left ( K \right ), diz-se que o traço da matriz transposta é igual ao traço da própria matriz:


tr\left ( A^{T} \right )=tr\left ( A \right )


Propriedade 4

Para quaisquer matrizes quadradas de ordem \begin{matrix} n \end{matrix}, A\in M_{n\times n}\left ( K \right ) e B\in M_{n\times n}\left ( K \right ) tem-se:


tr\left ( AB \right )=tr\left ( BA \right )


NOTA: A condição anterior é sempre válida mesmo que {\color{red} AB\neq BA } .


OBSERVAÇÃO: 
1. O traço da matriz identidade, {\color{blue} \begin{matrix} I \end{matrix} }, de ordem {\color{blue} \begin{matrix} n \end{matrix} }, é sempre igual à ordem {\color{blue} \begin{matrix} n \end{matrix} }.
2. O traço da matriz nula, {\color{blue} \begin{matrix} O \end{matrix} }, de ordem {\color{blue} \begin{matrix} n \end{matrix} }, é sempre igual a zero.

Demonstração das Propriedades

Nos quatro tópicos seguintes são demonstradas as propriedades já referidas.


Demonstração da Propriedade 1

Dado que \begin{matrix} A \end{matrix} e \begin{matrix} B \end{matrix} são duas matrizes quadradas de ordem \begin{matrix} n \end{matrix} e que a soma de \begin{matrix} A+B \end{matrix} encontra-se definida.


Prosseguindo com a argumentação, segue que:


tr\left ( A+B \right )=


=\sum_{i=1}^{n}\left ( a_{ii}+b_{ii} \right )


=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} + \sum_{i=1}^{n} b_{ii}


=tr\left ( A \right )+tr\left ( B \right )


=tr\left ( B \right )+tr\left ( A \right )= tr\left ( B+A \right )



NOTA: Esta demonstração também é válida para a operação subtracção, .


Demonstração da Propriedade 2

Se A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}\in M_{n\times n}\left ( K \right ) e \begin{matrix} k \end{matrix} é um qualquer escalar, temos que:


tr\left ( kA \right )=


=tr\left ( k \left (  a_{ij} \right )_{n\times n} \right )


=tr\left ( \left ( k a_{ij}\right )_{n\times n} \right )


=\sum_{i=1}^{n}k a_{ii}


=k\sum_{i=1}^{n} a_{ii}


=k \  tr\left ( A \right )

Demonstração da Propriedade 3

Sendo A\in M_{n\times n} \left ( K \right ), a matriz transposta de \begin{matrix} A \end{matrix}, denotada por \begin{matrix} A^{T} \end{matrix}, obtém-se trocando as linhas pelas colunas da própria matriz.


Por exemplo, se


A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots  & a_{1n}\\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots  & a_{2n}\\ 
\vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\ 
a_{n1} & a_{n2} & \cdots  & a_{nn}
\end{bmatrix}, tem-se que:


A^{T}=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots  & a_{n1}\\ 
a_{12} & a_{22} & \cdots  & a_{n2}\\ 
\vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\ 
a_{1n} & a_{2n} & \cdots  & a_{nn}
\end{bmatrix}.


Assim, o traço de \begin{matrix} A^{T} \end{matrix} é:


tr\left ( A^{T} \right )=tr\left ( \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots  & a_{1n}\\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots  & a_{2n}\\ 
\vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\ 
a_{n1} & a_{n2} & \cdots  & a_{nn}
\end{bmatrix}^{T} \right )


=tr\left (\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots  & a_{n1}\\ 
a_{12} & a_{22} & \cdots  & a_{n2}\\ 
\vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\ 
a_{1n} & a_{2n} & \cdots  & a_{nn}
\end{bmatrix}  \right )


\begin{matrix} =a_{11}+_{22}+...+a_{nn} \end{matrix}


=tr\left ( A \right )


NOTA: Para verificar, basta observar que {\color{red} A} e {\color{red} A^{T} } têm diagonais iguais.

Demonstração da Propriedade 4

Se A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}\in M_{m\times n} \left ( K \right ) e B=\begin{bmatrix} b_{ji} \end{bmatrix}\in M_{n\times m} \left ( K \right ), tem-se naturalmente que AB\in M_{m \times m}\left ( K \right ). Assim, o traço de \begin{matrix} AB \end{matrix} será dado por:


tr\left ( AB \right )=


=\sum_{i=1}^{m}\left ( \sum_{j=1}^{n}  a_{ij} b_{ji} \right )


=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ji}


=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} b_{ji}  a_{ij}


=tr\left ( BA \right )


Por outro lado tem-se BA\in M_{n \times n}\left ( K \right ). Então o traço de \begin{matrix} BA \end{matrix} será:


tr\left ( BA \right )=


=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} b_{ji}  a_{ij}


=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ji}


=\sum_{i=1}^{m}\left ( \sum_{j=1}^{n}  a_{ij} b_{ji} \right )


=tr\left ( AB \right )

Exemplos

Exemplo 1 - Cálculo do traço de uma matriz quadrada.

Enunciado:


Determine o traço das seguintes matrizes, caso seja possível.


  • (a) A=\begin{bmatrix}
-4 & 2 & 3\\ 
7 & 1 & -5\\ 
6 & 0 & 0
\end{bmatrix}


  • (b) B=\begin{bmatrix}
a & b\\ 
c & d
\end{bmatrix}


  • (c) C=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 8 & 2 & 1 & 6\\ 
9 & 2 & 3 & 5 & 9 & 5\\ 
10 & 22 & 4 & 7 & 5 & 4\\ 
6 & 7 & 13 & -12 & 1 & 2\\ 
11 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 
0 & 4 & 3 & 0 & 0 & 45
\end{bmatrix}


  • (d) D=\begin{bmatrix}
5 & 9\\ 
2 & 0\\ 
3 & 6
\end{bmatrix}


Resolução:


  • (a) tr\left ( A \right )=-4+1+0=-3


  • (b) tr\left ( B \right )=a+d


  • (c) tr\left ( C \right )=1+2+4-12+2+45=54-12=42


  • (d) Não é possível calcular o traço da matriz \begin{matrix} D \end{matrix}, porque esta não é uma matriz quadrada: \nexists \  tr\left ( D \right ) \because D\notin  M_{n\times n} \left ( K \right ).


NOTA: {\color{red} \because }, este operador relacional avançado significa porque.

Exemplo 2 - Cálculo do traço de uma matriz utilizando as suas propriedades e envolvendo equações matriciais.

Enunciado:


Determine o traço da matriz quadrada \begin{matrix} X \end{matrix} de cada uma das alíneas seguintes, sabendo que A=\begin{bmatrix}
-2 & 3 & 9\\ 
0 & 1 & -5\\ 
6 & 8 & 4
\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}
7 & 0 & 5\\ 
0 & 1 & 0\\ 
4 & 0 & 3
\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\ 
2 & 0 & 1\\ 
3 & 1 & -1
\end{bmatrix} e CA=\begin{bmatrix}
0 & 1 & -5\\ 
2 & 14 & 22\\ 
-12 & 2 & 18
\end{bmatrix}.


  • (a) \begin{matrix} XA^{-1}+B^{T}A^{-1}=ACA^{-1} \end{matrix};


  • (b) \begin{matrix} X+C^{T}-B=O_{3} \end{matrix}, sendo \begin{matrix} O_{3} \end{matrix} a matriz nula de ordem \begin{matrix} 3 \end{matrix};


  • (c) \begin{matrix} BXB^{-1}=B+I_{3} \end{matrix}, onde \begin{matrix} I_{3} \end{matrix} representa a matriz identidade de ordem \begin{matrix} 3 \end{matrix}.


Resolução:


  • (a) XA^{-1}+B^{T}A^{-1}=ACA^{-1}\Leftrightarrow XA^{-1}A+B^{T}A^{-1}A=ACA^{-1}A\Leftrightarrow XI_{3}+B^{T}I_{3}=ACI_{3}


\Leftrightarrow X+B^{T}=AC\Leftrightarrow X=AC-B^{T}


tr\left ( X \right )=tr\left ( AC-B^{T} \right )\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=tr\left ( AC \right )-tr\left ( B^{T}  \right )\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=tr\left ( CA \right )-tr\left ( B \right )


\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=tr\left ( \begin{bmatrix}
0 & 1 & -5\\ 
2 & 14 & 22\\ 
-12 & 2 & 18
\end{bmatrix} \right )-tr\left ( \begin{bmatrix}
7 & 0 & 5\\ 
0 & 1 & 0\\ 
4 & 0 & 3
\end{bmatrix} \right )\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=32-11\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=21


  • (b) X+C^{T}-B=O_{3}\Leftrightarrow X=B-C^{T}+O_{3}


tr\left ( X \right )=tr\left ( B-C^{T}+O_{3} \right )\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=tr\left ( B \right )-tr\left ( C^{T} \right )+tr\left ( O_{3} \right )


\Leftrightarrow tr\left ( X  \right )=tr\left ( B \right )-tr\left ( C \right )\Leftrightarrow tr\left ( X  \right )=tr\left ( \begin{bmatrix}
7 & 0 & 5\\ 
0 & 1 & 0\\ 
4 & 0 & 3
\end{bmatrix} \right )-tr\left ( \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\ 
2 & 0 & 1\\ 
3 & 1 & -1
\end{bmatrix} \right )


\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=11-\left ( -1 \right )\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=12


  • (c) BXB^{-1}=B+I_{3}\Leftrightarrow B^{-1}BXB^{-1}B=B^{-1}BB+B^{-1}I_{3}B\Leftrightarrow I_{3}XI_{3}=I_{3}B+I_{3}\Leftrightarrow X=B+I_{3}


tr\left ( X \right )=tr\left ( B \right )+tr\left ( I_{3} \right )\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=11+3\Leftrightarrow tr\left ( X \right )=14

Exemplo 3 - Determinar o valor de uma constante a partir do traço.

Enunciado:


Dada a matriz A=\begin{bmatrix}
\alpha ^{2}-2 & 0 & 8\\ 
3 & 4 & -2\\ 
5 & 1 & -6
\end{bmatrix}, determine \begin{matrix} \alpha \end{matrix} de modo que tr\left ( A \right )=0.


Resolução:


tr\left ( A \right )=0


\Leftrightarrow \alpha ^{2}-2+4-6=0


\Leftrightarrow \alpha =\pm \sqrt{4}


\Leftrightarrow \alpha =\pm 2


\Leftrightarrow \alpha =-2\vee \alpha =2

Exemplo 4 - Determinar o traço de uma matriz quadrada através da definição 2 (ou seja, através de valores próprios).

Enunciado:


Seja A=\begin{bmatrix}
1 & 3\\ 
3 & 1
\end{bmatrix} , calcule o traço desta matriz através dos valores próprios de \begin{matrix} A \end{matrix}.

Resolução:


1.º - Determinação dos valores próprios da matriz \begin{matrix} A \end{matrix}.


det\left ( A-\lambda I_{2} \right )=0, sendo \begin{matrix} I_{2} \end{matrix} a matriz Identidade de ordem \begin{matrix} 2 \end{matrix}.


Assim, ficamos com:


\begin{vmatrix}
1-\lambda & 3\\ 
3 & 1-\lambda
\end{vmatrix}=0


\Leftrightarrow \left ( 1-\lambda  \right )^{2}-9=0


\Leftrightarrow 1-\lambda =\pm \sqrt[]{9}


\Leftrightarrow 1-\lambda =\pm 3


\Leftrightarrow 1-\lambda =-3 \ \vee \ 1-\lambda =+3


\Leftrightarrow \lambda = -2 \  \vee \   \lambda = 4


2.º - Determinação do traço da matriz referida:


tr\left ( A \right )= \sum_{i=1}^2 \lambda_i =-2+4=2

Aplicações do Traço de Uma Matriz Quadrada

Aplicação Generalizada

As matrizes quadradas têm aplicação nomeadamente na Álgebra Linear e na Geometria Analítica, pois são estas duas áreas que estudam as próprias matrizes.


Para isso, destaca-se o clip intitulado "A influência da matemática no cinema" que retrata a aplicação directa de matrizes, quadradas ou não, desde a programação, computação gráfica até ao cinema e aos pixéis. Para visionar o clip <click aqui> (desta-se principalmente os 3 primeiros minutos).

Aplicação Concreta

Consideremos o lançamento de dois dados em simultâneo, estando as faces de cada um dos dados numeradas de \begin{matrix} 1 \end{matrix} a \begin{matrix} 6 \end{matrix}.


Através da seguinte tabela de dupla entrada, podemos então registar quantas vezes sai a face \begin{matrix} i \end{matrix} e \begin{matrix} j \end{matrix} de cada um dos dados por \left ( i ; j \right ).


Faces \begin{matrix} 1 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} \begin{matrix} 4 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \end{matrix} \begin{matrix} 6 \end{matrix}
\begin{matrix} 1 \end{matrix} (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
\begin{matrix} 2 \end{matrix} (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
\begin{matrix} 3 \end{matrix} (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
\begin{matrix} 4 \end{matrix} (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
\begin{matrix} 5 \end{matrix} (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
\begin{matrix} 6 \end{matrix} (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)


Na verdade a tabela anterior resume-se a uma matriz quadrada de ordem \begin{matrix} 6 \end{matrix}, ou seja, tem \begin{matrix} 6 \end{matrix} linhas e \begin{matrix} 6 \end{matrix} colunas.


Cada célula \left ( i ; j \right ) da tabela, representa um elemento da matriz, onde \begin{matrix} i \end{matrix} representa o número da face que saiu no primeiro dado e \begin{matrix} j \end{matrix} o número da face que saiu no segundo dado.

Ligações/Referências

Alguns sites/tópicos interessantes.


Ligações Internas





Ligações Externas









Referências Bibliográficas




--André Santos 2090332 17h50min de 22 de Dezembro de 2009 (UTC)

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